الإطار الثالث: التحويل الجبري وإزالة الإلغاء التناظري

الافتتاحية — المشكلة، الإنجاز، نوع الدليل

1. الهدف من الإطار الثالث

2. التحويل الجبري للمؤثر وعلاقة القيم الذاتية

نعرّف تحويل المتغير \(u = 2\pi/x\)، لتصبح الدالة:

حيث الغلاف هو:

إذا عرّفنا \(p(u) = g'(u)/g(u)\)، فإن الصيغة الصريحة هي:

ومن ثم، فإن المؤثر التالي يحقق الهوية الجبرية:

والتي تحقق: \(H_g(gY) = g(-Y'')\). وهذا يعني أنه إذا كانت \(-Y_n'' = \lambda_n Y_n\)، فإن \(H_g(gY_n) = \lambda_n(gY_n)\).

3. إزالة الإلغاء التناظري (Symmetry-Induced Cancellation Removal)

في الفيزياء، تمنع "قواعد الانتقال" بعض التحولات بسبب التناظر تحت الانعكاس. في مجالنا \(u \in (0, 2\pi)\)، الانعكاس هو \(\hat{P}u = 2\pi - u\).

تحت الانعكاس حول منتصف المجال \(\hat{P}u = 2\pi - u\)، يتحول مؤثر الانتقال \(D(u) = \cos(u/2)\) إلى \(-D(u)\). وبالاقتران مع تكافؤ الحالات الأساسية \(Y_n(2\pi-u) = (-1)^{n+1}Y_n(u)\)، يفرض هذا التناظر انعدام العنصر المرجعي \(\mathcal{A}_{13}^{(0)}\) في النموذج الأساسي.

لكن الغلاف \(g(u)\) غير متماثل تحت هذا الانعكاس:

يؤدي إدخال الغلاف غير المتماثل إلى إزالة حجة التناظر التي كانت تفرض انعدام \(\mathcal{A}_{13}^{(0)}\) في النموذج المرجعي. ولا يكفي ذلك وحده لضمان أن يكون التكامل غير صفري، لكن الحساب العددي بالتعريفات الحالية يعطي \(\mathcal{A}_{13} \neq 0\) عند \(x_p=21\).

4. اختبار عناصر الانتقال (Transition Elements Test)

اخترنا مؤثر الانتقال \(D(u) = \cos(u/2)\). لغرض التوثيق الكامل وإعادة الحساب، نعرّف الحالات الأساسية \(Y_n(u)\) والحالات المطبّعة \(\Psi_n(u)\) باستخدام القياس غير الموزون (\(du\)) كما يلي:

ثم تُعرّف عناصر المصفوفة والنسبة كالتالي:

اعتماد النسبة على \(x_p\) ضمن التعريفات المختارة:

لدراسة اعتماد النسبة على المعلمة \(x_p\)، حُسبت عند عدة قيم مختلفة. وتُظهر النتائج تغيراً سلساً ضمن المجال المختبَر، دون سلوك خاص ظاهر عند \(x_p=21\).

حساسية النسبة للأس \(a\) عند تثبيت \(x_p=21\):

اختير الأس \(a=5\) ضمن تعريف الغلاف، وليس نتيجة مشتقة من مبدأ مستقل. لاختبار أثر هذا الاختيار، حُسبت النسبة مع تغيير \(a\) وتثبيت بقية التعريفات وإعدادات التكامل.

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
import json

def g(u, xp=21.0, a=5.0):
    if u <= 1e-12 or u >= 2*np.pi - 1e-12:
        return 0.0
    return ((u/(2*np.pi))**a) * np.log((2*np.pi)/u) * np.exp(-2*np.pi/(xp*u))

def Y(n, u): return np.sin(n*u/2.0)
def D(u):    return np.cos(u/2.0)

def audited_quad(func, lo, hi, args=()):
    pts = [0.5, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 5.5]
    out = quad(func, lo, hi, args=args, epsabs=1e-10, epsrel=1e-10,
               limit=200, points=pts, full_output=1)
    val, err = out[0], out[1]
    info = out[2] if len(out)>2 else {}
    msg  = out[3] if len(out)>3 else ""
    return {
        "value": float(val), "err": float(err),
        "neval": int(info.get("neval",-1)) if isinstance(info,dict) else -1,
        "status": "ok" if not msg else "failed", "message": str(msg)
    }

def compute(a=5.0):
    def nf(u, n): return (g(u, a=a)*Y(n, u))**2
    def mf(u, m, n, Nm, Nn):
        return (g(u,a=a)*Y(m,u)/np.sqrt(Nm)) * D(u) * (g(u,a=a)*Y(n,u)/np.sqrt(Nn))

    lo, hi = 1e-9, 2*np.pi-1e-9
    N1 = audited_quad(nf, lo, hi, args=(1,))
    N2 = audited_quad(nf, lo, hi, args=(2,))
    N3 = audited_quad(nf, lo, hi, args=(3,))
    A12 = audited_quad(mf, lo, hi, args=(1, 2, N1["value"], N2["value"]))
    A13 = audited_quad(mf, lo, hi, args=(1, 3, N1["value"], N3["value"]))

    identity = 0.5 * np.sqrt(N2["value"]/N1["value"])
    R = (A13["value"]**2)/(A12["value"]**2)
    diff = abs(A12["value"]-identity)
    dest = A12["err"] + abs(identity)/2*(N1["err"]/N1["value"] + N2["err"]/N2["value"])
    return N1,N2,N3,A12,A13,identity,diff,dest,R

# sensitivity
for a_val in [5.0, 4.5, 4.9, 5.1, 5.5]:
    N1,N2,N3,A12,A13,identity,diff,dest,R = compute(a=a_val)
    print(f"a={a_val:4.1f} | R={R:.10f} | |A12-id|={diff:.2e} <= Δest={dest:.2e} → {'OK' if diff<=dest else 'FAIL'}")

a= 5.0 | R=0.6035155248 | |A12-id|=1.11e-16 <= Δest=1.38e-14 → OK
a= 4.5 | R=0.5268896810 | |A12-id|=... (OK)
a= 4.9 | R=0.5890815847 | |A12-id|=... (OK)
a= 5.1 | R=0.6174956097 | |A12-id|=... (OK)
a= 5.5 | R=0.6689137286 | |A12-id|=... (OK)

5. النتائج ونطاق النموذج (Results and Scope of the Model)

يؤسس النموذج الحالي تحويلاً جبرياً للدالة \(Z(u)\)، ويحدد التناظر المسؤول عن انعدام عنصر المصفوفة المرجعي، ويوضح كيف يغير الغلاف غير المتماثل عناصر الانتقال المحسوبة وفق التطبيع المحدد.

عند \(x_p = 21\)، يعطي التكامل العددي \(R_{13/12} \approx 0.60352\). كما تم فحص اعتماد هذه النسبة على \(x_p\) و \(a\)، وتوفير الحسابات لإعادة الإنتاج المستقل.