المنحنى الموحد (The Unifying Curve)

1. الدراسة: ثلاث قيم دقيقة على منحنى مقترح

في المختبر، بدأنا بالدالة البنيوية التالية (والتي تعتمد على تعريف نسبة التكامل في v0.4):

عند تعويض الزوايا المرجعية المرتبطة بالإطارات، نحصل على ثلاث قيم دقيقة للدالة. ويعرض هذا المختبر العلاقة الحسابية بينها، دون افتراض أن المرور بهذه النقاط وحده يثبت اشتقاقًا موحدًا من الإطارات.

2. التمثيل البصري (Visual Representation)

الرسم التالي يوضح المنحنى \(\alpha^*(\theta)\) مع النقاط الثلاث. تم توليده في Google Colab.

الشكل 1: المنحنى \(\alpha^*(\theta)\) والنقاط الذهبية الثلاث.

3. الهوية الرياضية (The Half-Angle Identity)

4. التعيين الهندسي (Geometric Identification)

شرط الحدود في نموذج Zx v0.4 يتطلب \(0 \le a \le 1\). النسبة الهندسية في Frame 2 هي \(r = \tan(22.5^\circ) = \sqrt{2}-1\).

يُعتمد التعيين التالي بوصفه التعيين الهندسي المفضل (Preferred Geometric Identification):

على المجال \(0^\circ \le \theta \le 45^\circ\). مع ذلك، فإن شرط الحدود وحده لا يحدد هذا التعيين بصورة فريدة؛ إذ توجد تعيينات بديلة تحقق الشرط نفسه. لذلك فإن تفضيل \(a = \tan\theta\) يستند إلى تفسيره الهندسي المباشر، وليس إلى تفرده.

أما النقطة \(\theta_m \approx 54.7356^\circ\)، فهي تقع على الامتداد الرياضي للمنحنى \(\alpha^*(\theta)\)، لكنها خارج المجال الزاوي المعتمد لتعيين \(a = \tan\theta\) في نموذج v0.4.

ملاحظة اصطلاحية مهمة: \(a\) هنا هو معامل نموذج Zx v0.4، في حين أن \(\alpha^*\) هي قيمة الدالة المختبرية. وهما كميتان مختلفتان. وهذا \(a\) ليس نفس \(a = 4\pi/21\) في الإطار الخامس (قسم 6). لا نخلط بينهما أبداً.

5. إعادة التشغيل (Reproducibility) — Lab 01

يمكنك إعادة توليد الرسم البياني والتحقق من الأرقام بنفسك عبر Google Colab، أو استعراض الكود مباشرة هنا:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
theta_deg = np.linspace(0.1, 89.9, 1000)
theta_rad = np.radians(theta_deg)
tan_theta = np.tan(theta_rad)
alpha_star = tan_theta / (tan_theta + 2)
points = [(22.5, 3-2*np.sqrt(2)), (45.0, 1/3), (54.7356, np.sqrt(2)-1)]
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(theta_deg, alpha_star, 'b-', linewidth=2, label=r'alpha*(theta)')
for x, y in points:
    plt.scatter(x, y, color='red', s=100, zorder=5)
plt.axhline(1/3, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.title('The Unifying Curve')
plt.xlabel('Angle theta (degrees)'); plt.ylabel('alpha*(theta)')
plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3); plt.xlim(0,90); plt.ylim(0,0.5)
plt.tight_layout(); plt.show()

6. ملحق الإطار الخامس — Frame 5: الفجوة الطيفية الموزونة (Appendix)

هذا الملحق هو السابق مجمعاً في اللاحق، في نفس الاسم /tree/lab01.html. لا نفتح ملفاً جديداً. القاعدة: تعريف، اشتقاق، ودليل. لا نرفع الاستكشاف إلى مرتبة الإثبات.

6.1 التعريفات — Canonical

تنبيه: تعريف \(B_- = R/w\) في مسودة سابقة ملغي. نلتزم بـ \(B_- = M \cdot R\). وهذا \(a\) هنا ليس \(a\) في قسم 4.

6.2 الاشتقاق — سطراً بسطر

السلسلة المغلقة: \(B_- \to h \to S \to S'\). إثبات \(h'=2wS\) لا يثبت إشارة \(S\). الإشارة مسألة منفصلة.

6.3 المجالات — الفصل الصارم

6.4 الخلية الأولى \(X_1\) — فشل الإحاطة المباشرة

الفصل الحاسم: فشل الإحاطة ≠ فشل المتباينة. السبب: \(w(v)/w(u) \approx 731\) داخل الخلية. \(w\) صغيرة جداً عند \(u\) و \(R\) كبيرة جداً عند \(u\)، وعندما نفصلهما نخسر الإلغاء. الخلية الأولى: مفتوحة.

6.5 التحويل \(T=a/x\) و \(C_0\) و \(E(T)\)

قيم استكشافية (ليست شهادة): \(E(34.79)\approx 0.00696\) إلى \(E(40)\approx 0.01165\). معيار الإغلاق: \(\inf_{T\in[34.79,40]} S(T) > 0\) على المجال كله، ليس نقاطاً مختارة.

6.6 الخطوة التالية على السبورة

(أ) إثبات رتابة \(q_0''\) بفواصل. (ب) شهادة فترية لـ \(C_0\) مع \(C_{0,lo}>0\). (ج) حساب \(\inf S\) على \(X_1\). إذا أغلقنا \(X_1\)، ننتقل للخلية الثانية فقط. خلية خلية.

6.7 كل بايثون المستخدم — Frame 5 (قابل للنسخ)

بايثون 1: \(B_+\) مقابل \(B_-\) — بايثون 2: \(S(x)\) في المجال الأوسط — بايثون 3: \(C_0\) و \(E(T)\). اضغط لإظهار الكود الكامل:

import mpmath as mp
mp.mp.dps = 50
L = 2*mp.pi
a = 4*mp.pi/21
m = mp.mpf('4.94123829')
def w(u):
    ell = mp.log(L/u)
    return mp.exp(10*mp.log(u/L) + 2*mp.log(ell) - a/u)
def r_of_T(T): return mp.log(L*T/a)
def q0(T):
    r = r_of_T(T); return T**8 / r**2
def c_of_T(T):
    r = r_of_T(T); return 8 - 2/r
def q0_prime(T): return q0(T)*c_of_T(T)/T
def q0_double_prime(T):
    r = r_of_T(T); c = c_of_T(T)
    return q0(T)/T**2 * (c**2 - c + 2/r**2)
# C0 exploratory
T0 = max(a/m, a*mp.e/L)
Tm = a/m
I_T0 = mp.quad(lambda s: mp.exp(s)*q0(s), [Tm, T0])
C0 = I_T0 - mp.exp(T0)*(q0(T0)-q0_prime(T0))
print("C0 exploratory =", mp.nstr(C0, 20))
def E_lower(T):
    return (1-mp.exp(-1))*mp.exp(-1) * q0_double_prime(T-1)/q0(T)
for T in [mp.mpf('34.7906163'), mp.mpf('35'), mp.mpf('36'), mp.mpf('37'), mp.mpf('38'), mp.mpf('39'), mp.mpf('40')]:
    print(f"T={mp.nstr(T,8)} E_lower={mp.nstr(E_lower(T),8)}")
# --- S(x) in middle domain (frame5.ipynb, 50 digits) ---
from mpmath import mpf, log, exp, quad
a2 = mpf('0.5985')  # مركزية، الفتري يستخدم [0.598,0.599]
def ell(x): return log(L/x)
def I_of_T(T, T0):
    def q0m(t):
        r = log(L*t/a2); c = 8-2/r; return q0(t)*(1-c/t)
    def integrand(t):
        r = log(L*t/a2); c = 8-2/r
        return exp(t)*q0(t)*(c**2-c+2/r**2)/t**2
    I_T0 = quad(lambda t: exp(t)*q0(t), [a2/mpf('4.942'), T0])
    return I_T0 - exp(T)*q0m(T) - exp(T0)*q0m(T0) - quad(integrand, [T0, T])
def S_of_x(x):
    T = a2/x; T0 = max(a2/mpf('4.942'), a2*mp.e/L)
    Q = ell(x); I = I_of_T(T, T0)
    wr = a2 * Q**2 * exp(-T) * I / T**10
    return (wr/x)*(10-2/ell(x)+a2/x)-1
for x in [0.015,0.02,0.03,0.05,0.1,0.2,0.3,0.5]:
    print(x, S_of_x(mpf(str(x))))

ملاحظة: طباعة PROVEN في كود \(B_+\) هي تسمية استكشافية، ليست شهادة فترية. القيم العددية كلها استكشافية ما لم يذكر أنها فترية.