إطار هندسي وعددي قابل لإعادة التشغيل: برهان زاوية 22.5°، ومحاكاة تفاعلية، ورسم بياني، وجدول القياسات الأولية، واختبار تكافؤ TOST محسوب في الصفحة مع تحقق آلي من دالة توزيع t.
يبدأ الإطار من نتيجة مثلثية دقيقة، ثم يبني عليها محاكاة تفاعلية، ثم يعرض قياسات ميدانية أولية تُفحص استكشافيًا ضمن هامش تكافؤ محدد مسبقًا.
كيف تُربط علاقة هندسية دقيقة (tan 22.5° = √2−1) بمشاهدات ميدانية قابلة للقياس، وما الذي يُستنتج فعلًا من تقارب عددي بين نسبة تاج/ارتفاع في عينة صغيرة والقيمة النظرية؟
برهان مثلثي دقيق لـ tan(22.5°) = √2−1، وعلاقة الظل S/H = tan(θ) ضمن النموذج الهندسي، ومحاكاة تفاعلية، وقياسات أولية لخمس أشجار مانجو، واختبار تكافؤ TOST قابل لإعادة الحساب داخل الصفحة مع اختبارات مرجعية مرئية.
برهان رياضي دقيق للنتيجة المثلثية. نموذج هندسي بشروط محددة (سطح أفقي، شعاع مستقيم) لعلاقة الظل. بيانات ميدانية استكشافية (n=5) تُظهر تقاربًا عدديًا لا إثباتًا. لا يوجد في الإطار ادعاء مثبت بصلة إلى فرضية ريمان.
إذا كانت الزاوية θ مقاسة من الاتجاه الرأسي، فإن زاوية ارتفاع الشمس عن الأفق هي α = 90° − θ. ولشعاع شمسي يصنع زاوية ارتفاع α مع أرض أفقية، ينتج من مثلث قائم أن نسبة الظل الأفقي إلى الارتفاع الرأسي هي:
عند θ = 22.5° تكون α = 67.5°، وبالتالي:
ضع x = tan(22.5°). وبما أن tan(45°) = 1، فمن صيغة ضعف الزاوية:
إعادة الترتيب تعطي x² + 2x − 1 = 0. ومن حل المعادلة التربيعية:
ولأن 22.5° زاوية حادة فـ x موجب، لذلك:
غيّر ارتفاع الجسم وزاوية θ لترى طول الظل المتوقع وفق النموذج الهندسي. θ هنا مقاسة من الرأسي، لا من الأفق. نطاق الزاويتين متكامل: θ ∈ [5°,60°]، α = 90°−θ ∈ [30°,85°].
تنبيه: إذا غُيّرت زاوية ارتفاع الشمس α، تُحسب زاوية θ المكملة تلقائيًا؛ وإذا غُيّرت θ مباشرة، تتغير α إلى 90°−θ. الحدود مقيّدة بالنطاقات المتكاملة أعلاه.
خمس أشجار مانجو في شعوب، صنعاء؛ تاريخ القياس المسجل: 14 أكتوبر 2026. الرمز H هو الارتفاع الكلي، وh هو الارتفاع السفلي المقاس، وC = H−h هو الفرق الرأسي. النسبة المدروسة R = (H−h)/H.
| الشجرة | H (m) | h (m) | C = H−h (m) | R = C/H | الفرق عن √2−1 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 7.80 | 4.50 | 3.30 | 0.42308 | +0.00886 |
| 2 | 8.50 | 5.00 | 3.50 | 0.41176 | −0.00245 |
| 3 | 7.20 | 4.20 | 3.00 | 0.41667 | +0.00245 |
| 4 | 9.00 | 5.40 | 3.60 | 0.40000 | −0.01421 |
| 5 | 7.50 | 4.40 | 3.10 | 0.41333 | −0.00088 |
تم تصحيح إشارة الصف الخامس (كانت +0.00088، والصواب −0.00088)، وتصحيح تقريب الصف الأول (كان +0.00887، والصواب +0.00886). القيم محسوبة من H وh المعروضين.
نجاح TOST في مقارنة متوسط R مع √2−1 لا يُثبت قانون الظل S/H = tan(θ)، لأنهما كميتان مختلفتان. الصياغة الأمينة: «متوسط نسبة تاج/ارتفاع في هذه العينة قريب عدديًا من √2−1 ضمن الهامش المحدد»، دون ادعاء سببية أو تعميم على أشجار المانجو عمومًا.
اختبار التكافؤ بمستويين أحاديّي الطرف عند α = 0.05 يقابل فاصل ثقة 90% للمتوسط يجب أن يقع كاملًا داخل [μtarget−Δ, μtarget+Δ]. الهامش Δ يجب تحديده قبل جمع البيانات؛ تغييره بعد الاطلاع على النتيجة يُبطل معنى الاختبار.
| الكمية | القيمة |
|---|
p₁ هو p للاختبار الأحادي الأدنى (H₀: μ ≤ μtarget−Δ)، وp₂ للاختبار الأحادي الأعلى (H₀: μ ≥ μtarget+Δ)، وp_TOST = max(p₁, p₂). يتحقق التكافؤ عند α=0.05 إذا p_TOST < 0.05. لاحظ أن n=5 صغيرة، والقدرة الإحصائية محدودة، وأن أي نتيجة تتوقف على الهامش المختار.
تُنفَّذ هذه الاختبارات تلقائيًا عند تحميل الصفحة، ونتيجتها مرئية. القيم المرجعية من جداول توزيع t القياسية.
| t | df | المتوقعة | الفعلية | |خطأ| | النتيجة |
|---|
كل عمود يمثل R لشجرة، والخط المتقطع هو القيمة النظرية √2−1 ≈ 0.41421. الرسم يقارن القيم، لكنه لا يثبت أن التشابه ناتج عن علاقة سببية.
| الادعاء | الحالة | حدود الاستنتاج |
|---|---|---|
| tan(22.5°) = √2−1 | مثبت رياضيًا | نتيجة مثلثية دقيقة |
| S/H = tan(θ) | صحيح ضمن النموذج الهندسي | يتطلب سطحًا أفقيًا وقياسات زاوية/ظل متسقة |
| متوسط R للأشجار قريب من √2−1 | وصف عددي لعينة صغيرة | خمس أشجار في موقع واحد؛ لا تكفي للتعميم |
| تكافؤ المتوسط ضمن Δ (القيمة المحسوبة أعلى الصفحة) | اختبار مشروط بالهامش المختار | الهامش عملي/اصطلاحي ويجب تبريره قبل جمع البيانات؛ القدرة محدودة عند n=5 |
| رابط عام مع فرضية ريمان | غير مثبت | التشابه العددي لا ينشئ برهانًا أو رابطًا رياضيًا |
فاصل الثقة 90% المعروض هو فاصل t لمتوسط العينة (n=5، df=4). اختبار TOST في القسم 3 محسوب من البيانات الخمس نفسها، ويعرض الهامش ودرجات الحرية وp₁ وp₂ وp_TOST. اجتياز الاختبار لا يعني إثبات مساواة تامة ولا قانونًا طبيعيًا عامًا. اختبارات دالة توزيع t المرجعية (القسم 3) تُظهر ما إذا كانت قيم p المعروضة موثوقة قبل الاعتماد عليها.
frame2.html وافتحه في متصفح حديث. تعمل الحسابات والرسم وتصدير CSV دون اتصال بالإنترنت. أما زر «تحميل PDF» فيتطلب تحميل مكتبة html2pdf.js من CDN عند أول استخدام، أو استضافتها محليًا.الملف يبدأ بترويسة تعليقات # تعرّف الإطار والمؤلف وDOI وتاريخ وموقع جمع البيانات والوحدات، ثم صف عناوين الأعمدة:
tree, H_m, h_m, C_m, R, target_sqrt2_minus_1, difference_from_target
الأعمدة tree, H_m, h_m هي البيانات المقاسة؛ C_m, R, difference_from_target محسوبة؛ والعمود target_sqrt2_minus_1 ثابت نظري. الملف لا يحتوي على قياسات خام إضافية ولا سجل لأدوات القياس أو عدم اليقين، ويجب إضافة ذلك قبل الاستخدام في تحليل جديد.
بعد أن أثبتنا في القسم الأول أن \( \tan(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1 \) في المستوى (الشجرة والظل)، ننتقل الآن إلى الهندسة الفراغية. ماذا يحدث إذا انتقلنا من مثلث قائم 2D إلى مكعب 3D؟
في المكعب، الزاوية بين قطر المكعب (الخط المار من مركزه) وأحد أضلاعه المتصلة به تسمى "الزاوية السحرية". وهي مشهورة في تقنيات الرنين المغناطيسي النووي (NMR) لأنها تلغي تأثيرات معينة في المجال المغناطيسي. قيمتها:
ويمكن التعبير عنها باستخدام دالة الظل (tan):
ما علاقة هذه الزاوية بـ 22.5°؟
في الشجرة والظل (مستوى): \( \tan(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1 \).
في المكعب (فراغ): \( \tan(54.7356^\circ) = \sqrt{2} \).
هذا يعطينا هوية رياضية دقيقة:
كلتاهما تعتمدان على الجذر التربيعي للرقم 2، لكن في أبعاد مختلفة! هذا يثبت أن الثابت \( \sqrt{2} \) يلعب دوراً محورياً في كل من الهندسة المستوية والهندسة الفراغية.
المستوى (2D)
الشجرة والظل
الفراغ (3D)
قطر المكعب