ماذا تعرض هذه الصفحة بالضبط؟

تعرض محاكاة بصرية تفاعلية (HTML5 Canvas) ترسم شجرة وظلّها ومثلثاً قائم الزاوية مطابقاً لها. عند ضبط الزاوية على 22.5° (π/8)، فإن نسبة الظل إلى الارتفاع (L/H) تساوي tan(22.5°) = √2 − 1 ≈ 0.41421356. تتيح المحاكاة تعديل الزاوية ورؤية القيمة تتغير لحظياً.

لماذا 22.5° بالتحديد؟

22.5° = π/8 هي نصف الزاوية 45° (π/4). باستخدام قانون نصف الزاوية tan(θ/2) = (1−cos θ)/sin θ عند θ = 45°، نحصل على tan(π/8) = (2−√2)/√2 = √2 − 1. أي أن 22.5° ليست اختياراً اعتباطياً، بل نتيجة رياضية دقيقة.

كيف تحسب المحاكاة L/H؟

إذا H هو ارتفاع الشجرة و L هو طول ظلها، فإن L/H = tan(θ) حيث θ زاوية الشمس من العمودي. في المحاكاة، H نسبي (26% من ارتفاع الكانفس)، ويُحسب L = H × tan(θ). القيمة تُعرض مباشرة أعلى الشاشة وفي البطاقات الإحصائية.

هل هذه المحاكاة مرتبطة بدليل تجريبي؟

الاشتقاق النظري هنا هو الأساس الرياضي الذي بُني عليه بروتوكول القياس الميداني (tree3.html). تم إجراء مسح أولي على 30 شجرة يمنية، وأظهرت عينة المانجو (n=5) متوسطاً 0.41297 لنسبة (H−h)/H، مع TOST p=0.0008. هذه نتيجة استطلاعية على عينة صغيرة، وتحتاج تحققاً مستقلاً قبل أي تعميم. حجم العينة الصغير يحدّ من قوة الاستدلال.

شجرة التوحيد — المحاكاة البصرية | زاوية 22.5° تنتج √2−1

محاكاة تفاعلية ترسم شجرة وظلّها ومثلثاً قائم الزاوية مطابقاً لها. عند ضبط الزاوية على 22.5° (π/8)، تكون نسبة الظل إلى الارتفاع L/H مساوية لـ tan(22.5°) = √2 − 1 ≈ 0.41421356. استخدم زر «حركة الشمس» لتغيير الزاوية، وزر «قياس» لعرض H و L و L/H على الرسم، وزر «العودة» لاستعادة 22.5°.

قوس θ مطابق فوق وتحت — من العمودي لا من الأفقي

هذه الصفحة تعرض المحاكاة البصرية التفاعلية للهوية الرياضية tan(22.5°) = √2 − 1 ≈ 0.41421356. الدراسة الميدانية الاستطلاعية (n=5) أظهرت تشابهاً عددياً أولياً يمكن متابعته في بروتوكول القياس.

زاوية θ (من العمودي)22.5°

L / H (الظل ÷ الارتفاع)0.41421356

tan(θ)0.41421356

√2 − 1 (المرجع)0.41421356

v4.1: تصحيح الحساب في قسم البرهان، إيقاف الشمس عند الزاوية الحالية، وحماية الشمس من الخروج عن الشاشة.
عند θ = 22.5° فقط: L/H = √2 − 1 = 0.41421356

🥭 دراسة استطلاعية ميدانية (Pilot)

قياس أولي على عينة صغيرة من أشجار مانجو يمنية (n = 5 مانجو من أصل 30 شجرة في المسح) أعطى متوسط نسبة (H−h)/H ≈ 0.41297، وهو قريب من tan(22.5°) = 0.4142. هذه نتيجة استطلاعية تُشير إلى تشابه عددي مثير للاهتمام، وتحتاج تحققاً مستقلاً قبل أي تعميم.

📏 اطّلع على البروتوكول والبيانات (tree3)

📐 ثلاثة مستويات للتفسير — لا تخلط بينها

هذه الصفحة تجمع ثلاث طبقات معرفية منفصلة: هوية رياضية دقيقة، محاكاة عددية بصرية، ودراسة ميدانية استطلاعية. الفصل بينها يقوّي المصداقية، ولا ينتقص من قيمة المشروع.

المستوى ١ — الهوية الرياضية (دقيقة)

الرقم √2−1 ليس اختياراً، بل نتيجة دقيقة لقانون نصف الزاوية:

tan(22.5°) = tan(45° / 2)
= (1 − cos 45°) / sin 45°
= (1 − √2/2) / (√2/2)
= (2 − √2) / √2
= √2 − 1 ≈ 0.4142135624

هذه هوية رياضية صحيحة بغض النظر عن أي شجرة أو ظل.

↓

المستوى ٢ — المحاكاة العددية: تطبيق فيثاغورس

المثال التالي توضيحي مستقل (عند زاوية ≈ 56.54°): يُظهر كيف يربط فيثاغورس بين أضلاع المثلث القائم. الأرقام هنا ليست من الرسم الحالي (θ=22.5°)، بل اختيرت لبيان التطبيق.

Z = 192, C = 290.74

Z² + C² = 192² + 290.74²
= 36864 + 84530.74
= 121394.74
A = √121394.74 ≈ 348.42

tan⁻¹(290.74 / 192) ≈ 56.54°

في المحاكاة الافتراضية (θ=22.5°)، تصبح النسبة L/H = tan(22.5°) = √2−1 تلقائياً — شاهدها أعلى الصفحة.

↓

المستوى ٣ — دراسة ميدانية استطلاعية (Pilot)

قياس أولي على عينة صغيرة من أشجار مانجو يمنية أعطى متوسط نسبة (H−h)/H قريباً من القيمة النظرية:

n_mango = 5 (من أصل 30 شجرة)
متوسط (H−h)/H = 0.41297
TOST p = 0.000801 (مبدئي)
90% CI = [0.40491, 0.42102]

حدود الاستدلال: حجم العينة صغير، والمتوسط يشير إلى تشابه عددي مع الهوية الرياضية، لا إلى إثبات قانون طبيعي عام للأشجار. النتائج استكشافية وتحتاج تحققاً مستقلاً قبل أي تعميم.

الخلاصة: كل مستوى يخدم غرضه

Z' + C' + A' = 1

حيث: Z' = Z/(Z+C+A)، وC' = C/(Z+C+A)، وA' = A/(Z+C+A).
Z و C ساقا فيثاغورس، A الوتر. هذه صيغة مطبَّعة للتمثيل، وليست نتيجة مباشرة من نظرية فيثاغورس وحدها.

المستوى ١ يعطي القيمة الدقيقة — المستوى ٢ يُظهرها بصرياً — المستوى ٣ يقترح تشابهاً عددياً مبدئياً.